0 前言

随着激光刻蚀、化学腐蚀等表面处理技术的发展，近年来的许多研究表明：在缸套和活塞组件表面主动织构加工毫米、亚毫米或微米级的微凹坑/微凹槽（表面织构技术）^[1-4]，不但可以减小摩擦力、降低磨损，而且通过选择合适的表面织构几何形状、结构参数（如深度、直径等）和分布形式等可使织构表面实现主动润滑以达到最优的摩擦学性能（如摩擦因数最小），进而获得最佳的服役可靠性。表面织构的物理特征（几何结构和分布形式等）是影响活塞组件—缸套系统摩擦学特性和织构减摩效应的关键因素，因此实现表面织构物理特征的准确合理表征对于活塞组件—缸套系统的高效低摩润滑与表面减摩织构的控形控性加工有十分重要的意义，受到了国内外学者的广泛关注。目前，表面减摩织构的物理特征常采用若干结构性质参数 （尺寸参数和形状等）来描述^[5]，但是受加工过程随机因素等的影响，使得活塞组件—缸套系统织构表面（珩磨网纹织构表面等）往往具有各向异性、多尺度（即尺寸不一致）和不确定性分布（分布不均匀）等结构特点^[6]。因此，有限的结构性质参数难以完全准确和有效地定量描述活塞组件缸套系统表面减摩织构的物理特征。目前的研究表明^[7-11]：基于分形理论对表面织构的物理特征进行定量表征可获得较好的效果。2013年，印度马德拉斯技术学院的LAWRENCE等^[8]分别运用盒子计数法、功率谱方法和结构函数法对缸套表面珩磨加工织构图像进行了分形表征，计算了图像的分形维数和拓扑长度。2014年，罗马尼亚克卢日·纳波卡技术大学的TALU等^[9]对多晶硅表面织构进行了分形分析，获得了织构图像的分形维数。2016年，伊朗古昌科技大学的POUR^[10]运用离散小波变换对磨削表面图像进行了多尺度分解，通过时序分析计算了小波变换近似系数的最大李雅普诺夫指数，采用最大李雅普诺夫指数表征了磨削表面形貌特征。同年，德国汉诺威大学的ZOU等^[11]设计了一种测量涡轮叶片表面形貌的非接触光学系统，运用2D正交小波对涡轮叶片表面形貌图像信息进行了多尺度分解，采用均方根粗糙度和平均粗糙度等参数对各个尺度的涡轮叶片表面形貌进行了表征。2016年，电子科技大学的JING等^[12]对镓掺杂的氧化锌薄雕织构表面进行了正交小波多分辨率分析，获得各个尺度下的表面织构形貌特征，并运用盒子计数法计算各个尺度下表面织构形貌的分形维数。POUR、 ZOU和JING采用小波变换对表面图像进行多尺度的分解，但小波变换具有零维奇异性（点奇异）^[13-15]，只能在有限方向（水平、垂直和对角方向）反映织构表面3D形貌的多尺度特征，无法准确反映具有各向异性的表面织构的物理特征。

本文从活塞组件-缸套系统减摩织构表面的灰度图像出发，考虑减摩织构表面的多尺度和各向异性形貌特征^[16]，采用离散曲波变换方法对减摩织构表面的灰度图像在各个方向上进行多尺度分离，以实现与减摩织构物理特征相关的灰度图像信息的重构。在此基础上，研究与减摩织构物理特征相关的灰度图像信息的PIFS分形描述方法，计算减摩织构物理特征的分形维数，并与差分盒维数方法计算得到的分形维数进行对比以验证PIFS方法的有效性，以实现活塞组件-缸套系统表面减摩织构物理特征的定量表征和描述。

1 试验设计与图像采集处理

1.1 珩磨试验

本节采用平顶珩磨工艺进行缸套网纹织构表面加工，平顶珩磨工艺考虑了活塞组件-缸套系统磨合期的工作特点和工作原理，相较于普通珩磨工艺而言，平顶珩磨工艺加工的缸套网纹织构表面具有更少的整机磨合时间和更大的表面支撑面积，因此具有磨损程度较轻、使用寿命较长和油耗较低等特点。图1示出了平顶珩磨加工设备及缸套网纹织构表面。

1.2 图像采集

缸套网纹织构表面微观轮廓高度的变化在图像学上直观反映为灰度图像灰度值的变化。因此，通过缸套网纹织构表面灰度图像灰度值的变化可描述其微观轮廓高度的波动情况，为了获取缸套网纹织构表面的灰度图像，搭建了如图2所示的灰度图像采集系统。

该采集系统主要包括：图像传感器件（即CCD工业相机，Charge Coupled Device）、目镜、物镜、图像处理器与显示设备等。各器件的主要性能指标为：CCD的分辨率为1 920×1 080像素，目镜倍率为0.5X，物镜倍率为4.0X，图像处理器的主频和内存分别为3.1Hz和8.0GB，图像显示器分辨率为1 920×1 080像素。需要说明的是，CCD采集的图像为RGB(即：红绿蓝)三通道的彩色图像，可采用Adobe Photoshop推荐的颜色空间转换算法将其转换为灰度图像。

1.3 织构表面图像消噪处理

采集缸套网纹织构表面灰度图像时，光照噪声通常属于低频成份^[17]。因此，采用Butterworth高通滤波器对缸套网纹织构表面的灰度图像进行卷积运算以消除光照造成的噪声。滤波器的传递函数可以表示为^[17]：

式中，D ₀ 为滤波器的截止频率，n _b为滤波器的阶数，$H_1(x,y)$为滤波器传递函数，$D_1(x,y)$为像素点与频率域中心间的距离。

图3 给出了Butterworth滤波前后的缸套网纹织构表面的灰度图像。可以看出，滤波处理后，缸套网纹织构表面灰度图像的光照噪声在一定程度上得到了消除，灰度图像的细节部分也有所增强。

2 织构物理特征的灰度图像重构

活塞组件-缸套系统减摩织构表面具有多尺度和各向异性特点，因此为了准确地对表面减摩织构的物理特征进行定量描述或表征，须从多尺度和各向异性减摩织构表面分离或重构出减摩织构的物理特征。考虑到曲波变换方法具有线奇异性的特点，因此采用曲波变换方法重构出与活塞组件-缸套系统减摩织构物理特征相关的灰度图像信息。

2.1 曲波变换理论

曲波变换^[18-19]是小波变换^[20]和脊波变换^[21]的改进形式，结合了小波变换多尺度和脊波变换各向异性的特点，能够对线奇异的图像信息进行稀疏表示。曲波变换可理解为二维平方可积函数空间的紧致框架，通过基函数与图像信号的内积以实现多尺度和各向异性图像信号的稀疏表示。曲波变换可定义为^[22]：

式中，${\phi }_{j,l,k}$为基函数，f 是输入图像信号，j 为曲波变换尺度参数，l 为曲波变换方向参数，k 为曲波变换位置参数。

曲波变换的基函数须在频域内表示，因此可运用频域窗函数表示曲波变换的基函数，即有：

式中，$U_j(r,\theta )$为频域窗函数，r，θ 为频域极坐标，$\lfloor j/2\rfloor$是 j/2的整数部分，W (r) 为频域半径窗函数，V(t) 为频域角度窗函数。

式(2)中，频域半径窗函数和角度窗函数的支撑区间分别为 r ∈ (1/2,2) 和t ∈ [-1,1]，且须满足容许性条件。因此，曲波变换的频域窗函数可视为在半径和角度窗函数支撑空间限制下所获得的楔形窗，如图4所示。图4中，曲波变换的半径窗函数和角度窗函数的宽度不同，即表明曲波变换具有各向异性的特性。曲波变换半径窗函数和角度窗函数的容许性条件可以表示为^[19]：

假设曲波变换的母曲波满足如下关系：

式中，w 为频域参量，${\phi }_j\left(\mathit{x}\right)$为输入的母曲波，${\widehat{\phi }}_j\left(w\right)$为母曲波的傅里叶形式。

根据式(5)可知，尺度为2^−j的曲波均可由母曲波旋转和平移得到。为此，定义旋转角度序列和平移参数分别为^[15]：

式中，${\mathit{k}}_r$为平移向量，${\theta }_l$为旋转角度序列。

因此，可将尺度为2^−j、方向为${\theta }_l$ 和平移矢量为${\mathit{k}}_r$时的曲波变换表示为^[22]：

且有：

式中, ${\mathit{R}}_{{\theta }_l}$为旋转矩阵。

因此，可将曲波变换的系数表示为^[15]：

在运用曲波变换处理图像信号时，通常采用其离散形式。图5给出了离散形式的曲波变换的尺度和角度分割图。对于笛卡尔坐标系下输入的图像信号，根据式(11)可以将曲波变换系数的离散形式表示为^[14]：

式中，${\stackrel{-}{\phi }}_{j,l,{\mathit{k}}_r}^D\left(t_1,t_2\right)$为曲波基函数的离散形式，$f\left(t_1,t_2\right)$为笛卡尔坐标系的图像信息。

为了实现图像信息多尺度特征和角度的分离，定义如下函数：

式中，${\mathit{S}}_{\theta l}$为剪切矩阵，${\psi }_j\left(w\right)$为与笛卡尔相似的族，${\tilde{\psi }}_j\left(w\right)$为离散形式的半径窗函数，φ 是一维低通窗口函数的内积，w 是频率域参量，且有$w=\left(w_1,w_2\right)$, $w_1$> 0。

因此，可将笛卡尔坐标系下的窗函数表示为如下形式：

式中，${\tilde{U}}_j\left(w\right)$为笛卡尔坐标系下的窗函数。

同理，可将旋转角度为${\theta }_l\in [-\pi /4,\pi /4)$时，笛卡尔坐标系下的曲波变换窗函数表示为如下形式：

在获取笛卡尔坐标系下曲波变换窗函数的基础上，通过内积输入的图像信号，便可得到离散形式的曲波变换系数。

2.2 织构物理特征的曲波变换重构

采用离散曲波变换重构活塞组件-缸套系统表面减摩织构的物理特征。离散曲波变换的实现算法主要有：不等间距的快速傅里叶(即Unequispsed FFT，USFFT)算法和Wrapping算法。由于Wrapping算法较USFFT算法具有较小的计算资源消耗，因此本文采用Wrapping算法来实现离散曲波变换，以在各向异性和多尺度减摩织构表面分离出织构物理特征的灰度图像信息。Wrapping算法的实现步骤如下^[19]。

(1) 基于采集的活塞组件-缸套系统减摩织构表面的灰度图像信息，对其进行傅里叶变换，以实现减摩织构表面灰度图像信息的频域表示。灰度图像信息的傅里叶变换形式可以表示为：

式中，m ₁、n ₁ 为图像像素点的编号，$\widehat{f}\left(n_1,n_2\right)$是图像信息的傅里叶变换形式；$f\left(t_1,t_2\right)$为输入的图像信息，即灰度分布。

(2) 在频域内，在任意尺度和角度下重采样图像，得到采样值，即有：

式中

式中，$L_{1,j}$为窗函数支撑区间的长度分量，$L_{2,j}$为窗函数支撑区间的宽度分量。

(3) 将重采样后的图像采样值与窗函数相乘，可得图像采样值的新序列的表达式为：

(4) 围绕原点对采样值的新序列进行Wrapping局部化和傅里叶逆变换，即可得到离散形式的曲波变换系数。

(5) 根据离散曲波变换系数，通过保留减摩织构物理特征灰度图像所对应的曲波变换系数，并将其他变换系数置零，即可实现减摩织构物理特征灰度特征图像的重构。

3 织构物理特征的PIFS表征

由于活塞组件-缸套系统减摩织构表面具有自相似的特点，在获取与减摩织构物理特征相关的灰度图像信息的基础上，可采用PIFS(即分块迭代函数系统，Partitioned Iterated Function System)方法^[23-25] 对减摩织构的物理特征进行定量表征。PIFS是根据图像局部之间的相似性，基于吸引子和拼贴定理而提出的描述方法。PIFS的构建过程为^[22]：

3.1 划分范围块

针对与减摩织构物理特征相关的灰度图像信息，采用四叉树算法对其进行分块，形成互不重叠的方形范围块。

3.2 划分匹配块

将与减摩织构物理特征相关的灰度图像划分为可相互重叠的方形匹配块，且匹配块的面积为范围块面积的四倍。

3.3 形成匹配块搜索空间

通过采用4-邻域像素值平均算法对匹配块像素点进行几何压缩变换，得到与范围块同尺寸大小的子块，对子块进行若干对称旋转变换以构成匹配块的搜索空间，即码书。图6给出活塞组件-缸套系统减摩织构物理特征灰度图像的匹配块搜索空间的实现过程示意图。

3.4 匹配

对搜索空间中的匹配块进行压缩仿射变换，使得变换后的匹配块与范围块之间的距离最小(即变换后的匹配块与范围块之间的均方根误差小于给定的均方根误差值RMS)，即有：

式中，k 为范围块中的像素编号， N₁ 为范围块中的像素数量，$r_k$为范围块像素 k 的灰度值，$s_i$是压缩仿射变换的尺寸系数，$o_i$为压缩仿射变换的平移系数，$d_k$为搜索空间中匹配块像素 k 的灰度值。

式(23)中，压缩仿射变换的尺寸系数和平移系数可以分别表示为^[26]：

3.5 构建PIFS模型

实现匹配块与范围块最佳匹配的压缩仿射变换的尺寸系数、平移系数、匹配块的位置及仿射变换类型构成了活塞组件-缸套系统减摩织构物理特征灰度图像的PIFS模型。PIFS模型包含减摩织构的物理特征，从而可在此基础上实现减摩织构的控形控性加工与质量评价，如图7所示。

3.6 PIFS分形维计算

为了便于分析，在构建活塞组件-缸套系统减摩织构物理特征的PIFS模型的基础上，定义PIFS分形维数^[27-28]为：

式中，D 为PIFS分形维数，N ₂ 为范围块的数量，$p_i$为匹配块因子。

4 结果分析与讨论

4.1 织构物理特征的提取结果

为了说明曲波变换方法在提取活塞组件-缸套系统减摩织构物理特征方面的有效性，针对平顶珩磨加工的缸套网纹织构表面，运用曲波变换方法对其灰度图像在各个方向上进行多尺度分离。图8a为CCD工业相机采集并做灰度处理后的原始灰度图，在图8a的基础上运用曲波变换方法对其在各个方向上进行多尺度分离，图8b～8f为各个尺度上进行分离后得到的各个尺度层灰度图像，由图8b到图8f，对应的尺度层数分别从第5层到第1层，对应的频率降低，纹理特征逐渐清晰，图f为尺度层1(尺度最高层)，该层主要包含低频信息，可以看出，尺度层为1的低频灰度图像包含珩磨网纹织构的主要物理特征。因此，通过保留尺度层为1的低频灰度图像的曲波变换系数，便可实现珩磨网纹织构物理特征的有效提取。但需要指出的是：尺度层为1的低频灰度图像中不仅有主动加工出的网纹织构特征，还包含由于珩磨加工过程中集聚或脱落的油石磨粒在缸套表面形成的若干非连续的凹槽或点状凹坑特征，这些特征也能够在活塞组件运行过程中起到存储润滑油膜等的作用。

4.2 织构物理特征的PIFS表征结果及有效性分析

为了说明PIFS分形方法表征减摩织构物理特征的有效性，在分离出与减摩织构物理特征相关的灰度图像的基础上，分别采用PIFS分形方法和差分盒维数法计算与减摩织构物理特征相关的灰度图像的分形维数。针对缸套珩磨加工表面的减摩网纹织构，表1给出了计算得到的PIFS分形维数和差分盒维数。可以看出，较差分盒维数而言，不同珩磨加工网纹织构表面的PIFS分形维数存在较大差别，通过计算得出PIFS分形维数标准差为0.166，差分盒维数标准差为0.036，PIFS分形维数针对不同网纹织构波动性更大，即较差分盒维数相比，PIFS分形维数能够更为有效地反映珩磨加工表面网纹织构物理特征的差别。

为了说明PIFS分形方法表征凹坑织构物理特征的有效性，仿真生成了具有不同几何结构参数和分布形式的球形凹坑织构表面的灰度图像。在此基础上，采用PIFS分形方法和差分盒维数法分别计算了灰度图像的分形维数。针对具有不同截面尺寸和深度的凹坑织构表面的灰度图像，分别采用PIFS方法和差分盒维数法计算了灰度图像的PIFS分形维数和差分盒维数，如表2和3所示。从表2可以看出，运用PIFS和差分盒维数法计算得到的不同截面尺寸的凹坑织构的分形维数分别为2.214和2.579。增大截面尺寸后，PIFS分形维数分别为2.509和2.783，差分盒分形维数分别为2.422和2.238，PIFS分形维数分别变化了18.12%和31.03%，差分盒维数的变化分别为6.09%和13.22%。对于具有不同截面尺寸的凹坑织构的表面灰度图像，其PIFS分形维数的波动更为明显，即PIFS分形维数能够有效地反映凹坑织构截面尺寸的变化。另外，从表3可以看出，运用PIFS和差分盒维数法计算得到的不同深度的凹坑织构的分形维数分别为2.783和2.238。增大织构深度后，PIFS分形维数分别为2.765和2.749，差分盒分形维数分别为2.247和2.252， PIFS分形维数变化了0.64%和1.22%，差分盒分形维数的变化分别为0.40%和0.63%。对于具有不同深度的凹坑织构的表面灰度图像，PIFS分形维数的变化程度较差分盒维数的变化程度更为剧烈，即PIFS分形维数也能够有效地反映凹坑织构的深度差别。

此外，为了验证PIFS分形方法表征复合织构物理特征的有效性，针对不同形状、深度和截面尺寸组合的复合织构表面的灰度图像，运用PIFS分形方法和差分盒维数法分别计算灰度图像的分形维数。针对圆柱形-抛物线形复合凹坑织构的表面灰度图像，表4给出其PIFS分形维数和差分盒维数。可以看出，运用PIFS分形方法和差分盒维数法计算得到的复合凹坑织构的分形维数分别为2.877和2.259。相对于圆柱形单一凹坑织构而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数变化了4.16%、差分盒维数变化了0.88%；相对于抛物线单一凹坑织构而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数变化了3.38%、差分盒维数变化了0.94%。结果表明：相对于差分盒维数而言，PIFS分形维数能够更加有效地表征不同形状组合的复合凹坑织构的物理特征。

针对不同深度组合的复合凹坑织构表面的灰度图像，表5给出其PIFS分形维数和差分盒维数。左图是深度为50～100 μm和150～200 μm的组合凹坑表面，中图是深度为50～100 μm的单一凹坑表面，右图是深度为150～200 μm的单一凹坑表面。可以看出，复合凹坑织构的PIFS分形维数和差分盒维数分别为2.705和2.246。相对于深度较小的单一织构 (中图)的PIFS分形维数和差分盒维数而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数变化了2.80%，差分盒维数变化了0.36%；相对于深度较大的单一织构(右图)的分形维数而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数和差分盒维数分别变化了1.60%和0.27%。结果表明：PIFS分形维数较差分盒维数而言，能够更为有效地反映不同深度组合的复合凹坑织构的物理特征。

另外，针对不同截面尺寸组合的复合凹坑织构表面的灰度图像，表6给出其PIFS分形维数和差分盒维数的对比结果。同时，表6也示出单一截面尺寸的凹坑织构的PIFS分形维数和差分盒维数。在限定凹坑深度为50～100 μm的基础上，左图是截面形状为圆柱形和抛物线形的组合凹坑表面，中图是截面形状为圆柱形的单一凹坑表面，右图是截面形状为抛物线形的单一凹坑表面。可以看出，计算得到的复合凹坑织构的PIFS分形维数和差分盒维数分别为2.451和2.344。相对于截面尺寸较小的单一织构(中图)而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数变化了2.31%、差分盒维数变化了3.22%；相对于截面尺寸较大的单一织构(右图) 而言，复合凹坑织构的PIFS分形维数变化了11.93%、差分盒维数变化了4.74%。结果表明：整体上而言，与差分盒维数相比，PIFS分形维数也能够较为有效地反映不同截面尺寸组合的复合凹坑织构的物理特征。

5 结论

针对活塞组件-缸套系统的减摩织构表面具有各向异性和多尺度等特点，运用曲波变换方法对减摩织构表面的灰度图像信息在各个方向上进行多尺度分离，实现了灰度图像信息的重构。研究减摩织构物理特征的PIFS分形描述方法，实现了织构形状、几何结构和分布形式等物理特征的定量表征。得到的主要结论包括：

(1) 曲波变换方法能够有效地对减摩织构表面的灰度图像信息进行多尺度和各向异性分离，从而准确提取出减摩织构的物理特征以实现其物理特征的PIFS分形定量表征。

(2) 与差分盒维数方法计算得到的分形维数相比，PIFS方法计算得到的分形维数能够更为敏感和有效地反映减摩织构物理特征的变化。

参考文献